Tipos de Ensayos

 Se pueden presentar tres tipos de ensayo de hipótesis que son:

• Unilateral Derecho
• Unilateral Izquierdo
• Bilateral

Dependiendo de la evaluación que se quiera hacer se seleccionará el tipo de ensayo.

• Unilateral Derecho. El investigador desea comprobar la hipótesis de un aumento en el parámetro, en este caso el nivel de significancia se carga todo hacia el lado derecho, para definir las regiones de aceptación y de rechazo.

Ensayo de hipótesis:
H_o; Parámetro  x

H₁; Parámetro > x

• Unilateral Izquierdo: El investigador desea comprobar la hipótesis de una disminución en el parámetro, en este caso el nivel de significancia se carga todo hacia el lado izquierdo, para definir las regiones de aceptación y de rechazo.

Ensayo de hipótesis:H_o; Parámetro  x
H₁; Parámetro < x

• Bilateral: El investigador desea comprobar la hipótesis de un cambio en el parámetro. El nivel de significancia se divide en dos y existen dos regiones de rechazo.

Ensayo de hipótesis:
H_o; Parámetro = xH₁; Parámetro  x

Para realizar los ejemplos y ejercicios de ensayo de hipótesis se recomienda seguir los pasos mencionados anteriormente. Los ejemplos siguientes se solucionarán por los pasos recomendados, teniéndose una variedad de problemas en donde se incluirán a todas las distribuciones muestrales que se han visto hasta aquí.
Ejemplos:

1. Una muestra aleatoria de 100 muertes registradas en Estados Unidos el año pasado muestra una vida promedio de 71.8 años. Suponga una desviación estándar poblacional de 8.9 años, ¿esto parece indicar que la vida media hoy en día es mayor que 70 años? Utilice un nivel de significancia de 0.05.

Solución:

1. Se trata de una distribución muestral de medias con desviación estándar conocida.
2. Datos:

=70 años
 = 8.9 años
= 71.8 años
n = 100 = 0.05

3. Ensayo de hipótesis
H_o;  = 70 años. H₁;  > 70 años.

4. Regla de decisión:
Si z_R 1.645 no se rechaza H_o. Si z_R> 1.645 se rechaza H_o.
5. Cálculos:

6. Justificación y decisión.

Como 2.02 >1.645 se rechaza H_o y se concluye con un nivel de significancia del 0.05 que la vida media hoy en día es mayor que 70 años.
Existe otra manera de resolver este ejercicio, tomando la decisión en base al estadístico real, en este caso la media de la muestra. De la formula de la distribución muestral de medias se despeja la media de la muestra:

Regla de decisión:Si  71.46 No se rechaza H_oSi > 71.46 Se rechaza H_oComo la media de la muestral es de 71.8 años y es mayor al valor de la media muestral límite de 71.46 por lo tanto se rechaza H_o y se llega a la misma conclusión.

2. Una empresa eléctrica fabrica focos que tienen una duración que se distribuye de forma aproximadamente normal con una media de 800 horas y una desviación estándar de 40 horas. Si una muestra aleatoria de 30 focos tiene una duración promedio de 788 horas, ¿muestran los datos suficiente evidencia para decir que la duración media ha cambiado? Utilice un nivel de significancia del 0.04.

Solución:

1. Se trata de una distribución muestral de medias con desviación estándar conocida.
2. Datos:

=800 horas
 = 40 horas
= 788 horas
n = 30 = 0.04

3. Ensayo de hipótesis
H_o;  = 800 horas H₁;   800 horas

4. Regla de Decisión:

Si –2.052 Z_R 2.052 No se rechaza H_o
Si Z_R < -2.052 ó si Z_R > 2.052 Se rechaza H_o

5. Cálculos:

6. Justificación y decisión:

Como –2.052 -1.643 2.052 por lo tanto, no se rechaza H_o y se concluye con un nivel de significancia del 0.04 que la duración media de los focos no ha cambiado.
Solución por el otro método:

 785.02 y 814.98

Regla de decisión:Si 785.02   814.98 No se rechaza H_o
Si < 785.02 ó > 814.98 se rechaza H_o

Como la = 788 horas, entonces no se rechaza H_o y se concluye que la duración media de los focos no ha cambiado.

3. Una muestra aleatoria de 64 bolsas de palomitas de maíz pesan, en pomedio 5.23 onzas con una desviación estándar de 0.24 onzas. Pruebe la hipótesis de que  = 5.5 onzas contra al hipótesis alternativa, 

< 5.5 onzas en el nivel de significamcia de 0.05.

Solución:

1. Se trata de una distribución muestral de medias con desviación estándar desconocida, pero como el tamaño de muestra es mayor a 30 se puede tomar la desviación muestral como un estimador puntual para la poblacional.
2. Datos:

= 5.5 onzas
s= 0.24 onzas
= 5.23 onzas
n = 64 = 0.05

3. Ensayo de hipótesis
H_o;  = 5.5 onzas H₁;  < 5.5 onzas

4. Regla de decisión:

Si Z_R  -1.645 No se rechaza H_o
Si Z_R < -1.645 Se rechaza H_o

5. Cálculos:

6. Justificación y decisión:

Como –9 < -1.645 por lo tanto se rechaza H_o y se concluye con un nivel de significancia del 0.05 que las bolsas de palomitas pesan en promedio menos de 5.5 onzas.
Solución por el otro método:

Regla de decisión:Si  5.45 No se Rechaza H_o
Si < 5.45 Se rechaza H_o

Como la = 5.23 y este valor es menor que 5.45 pot lo tanto se rechaza H_o.

4. Un constructor afirma que se instalan bombas de calor en 70% de todas las casas que se construyen hoy en día en la ciudad de Richmond. ¿Estaría de acuerdo con esta afirmación si una investigación de casas nuevas en esta ciudad muestra que 8 de 15 tienen instaladas bombas de calor? Utilice un nivel de significancia de 0.10.

Solución:

1. Se trata de una distribución muestral de proporciones.
2. Datos:

P= 0.70
p = 8/15 = 0.5333
n = 15 = 0.10

3. Ensayo de hipótesis
H_o; P = 0.70 H₁; P  0.70

4. Regla de Decisión:

Si –1.645 Z_R 1.645 No se rechaza H_o
Si Z_R < -1.645 ó si Z_R > 1.645 Se rechaza H_o

5. Cálculos:

6. Justificación y decisión:

Como –1.645 -1.41 1.645 No se rechaza H_o y se concluye con un nivel de significancia de 0.10 que la afirmación del constructor es cierta.

Solución por el otro método:

 = 0.505 y 0.894

Regla de decisión:Si 0.505 p_R 0.894 No se rechaza H_o
Si p_R < 0.505 ó si Z_R > 0.894 Se rechaza H_o

Como el valor del estadístico real es de 0.533 por lo tanto no se rechaza H_o y se llega a la misma conclusión.

3. Un fabricante de semiconductores produce controladores que se emplean en aplicaciones de motores automovilísticos. El cliente requiere que la fracción de controladores defectuosos en uno de los pasos de manufactura críticos no sea mayor que 0.05, y que el fabricante demuestre esta característica del proceso de fabricación con este nivel de calidad, utilizando 

= 0.05. El fabricante de semiconductores toma una muestra aleatoria de 200 dispositivos y encuentra que cuatro de ellos son defectuosos. ¿El fabricante puede demostrar al cliente la calidad del proceso?

Solución:

1. Se trata de una distribución muestral de proporciones.
2. Datos:

P= 0.05
p = 4/200 = 0.02
n = 200 = 0.05

3. Ensayo de hipótesis
H_o; P = 0.05 H₁; P < 0.05

4. Regla de decisión:

Si Z_R  -1.645 No se rechaza H_o
Si Z_R < -1.645 Se rechaza H_o

5. Cálculos:

6. Justificación y decisión:

Puesto que –1.946<-1.645, se rechaza H_o y se concluye con un nivel de significancia del 0.05 que la fracción de artículos defectuosos es menor que 0.05.

6. Un diseñador de productos está interesado en reducir el tiempo de secado de una pintura tapaporos. Se prueban dos fórmulas de pintura; la fórmula 1 tiene el contenido químico estándar, y la fórmula 2 tiene un nuevo ingrediente secante que debe reducir el tiempo de secado. De la experiencia se sabe que la desviación estándar del tiempo de secado es ocho minutos, y esta variabilidad inherente no debe verse afectada por la adición del nuevo ingrediente. Se pintan diez especímenes con la fórmula 1, y otros diez con la fórmula 2. Los dos tiempos promedio de secado muestrales son 121 min y 112 min respectivamente. ¿A qué conclusiones puede llegar el diseñador del producto sobre la eficacia del nuevo ingrediente, utilizando 

= 0.05?

Solución:

1. Se trata de una distribución muestral de diferencia de medias con desviación estándar conocida.
2. Datos:

₁=₂= 8
n₁=n₂= 10 = 0.05

3. Ensayo de hipótesis

H_o; ₁-₂ = 0
H₁; ₁-₂ > 0 Se desea rechazar H_o si el nuevo ingrediente disminuye el tiempo promedio de secado, por eso se pone la diferencia mayor a cero o sea positiva para poder probar que ₂ es menor que ₁.

4. Regla de decisión:
Si z_R 1.645 no se rechaza H_o. Si z_R> 1.645 se rechaza H_o.
5. Cálculos:

6. Justificación y decisión:
Puesto que 2.52>1.645, se rechaza H_o, y se concluye con un nivel de significancia de 0.05 que la adición del nuevo ingrediente a la pintura si disminuye de manera significativa el tiempo promedio de secado.
Solución por el otro método:


Regla de decisión:Si  5.88 No se rechaza H_o Si > 5.88 Se rechaza H_o Puesto que = 121-112 = 9 y este número es mayor a 5.88 por lo tanto se rechaza H_o.
7. Se utilizan dos máquinas para llenar botellas de plástico con un volumen neto de 16.0 onzas. Las distribuciones de los volúmenes de llenado pueden suponerse normales, con desviaciones estándar ₁= 0.020 y ₂ = 0.025 onzas. Un miembro del grupo de ingeniería de calidad sospecha que el volumen neto de llenado de ambas máquinas es el mismo, sin importar si éste es o no de 16 onzas. De cada máquina se toma una muestra aleatoria de 10 botellas. ¿Se encuentra el ingeniero en lo correcto? Utilice 

= 0.05

MAQUINA 1		MAQUINA 2
16.03	16.01	16.02	16.03
16.04	15.96	15.97	16.04
16.05	15.98	15.96	16.02
16.05	16.02	16.01	16.01
16.02	15.99	15.99	16.00

Solución:

1. Se trata de una distribución muestral de diferencia de medias con desviación estándar conocida.
2. Datos:

₁= 0.020
₂= 0.025
 Este dato se obtuvo calculando la media de los datos en la máquina 1.
 Este dato se obtuvo calculando la media de los datos en la máquina 2.
n₁=n₂ = 10 = 0.05

3. Ensayo de hipótesis

H_o; ₁-₂ = 0
H₁; ₁-₂  0 Si se cae en H_o se podrá probar que el volumen de llenado es el mismo en las dos máquinas.

4. Regla de Decisión:

Si –1.96 Z_R 1.96 No se rechaza H_o
Si Z_R < -1.96 ó si Z_R > 1.96 Se rechaza H_o

5. Cálculos:

6. Justificación y decisión:

Como –1.96 0.987 1.96 entonces no se rechaza H_o y se concluye con un nivel de significancia de 0.05 que las dos máquinas tienen en promedio la misma cantidad de llenado.

Solución por el otro método:

-0.019 y 0.019

Regla de decisión:Si –0-019 0.019 No se rechaza H_o
Si < -0.019 ó > 0.019 Se rechaza H_o

Como = 16.015 – 16.005 = 0.01, entonces cae en la región de aceptación y no se rechaza H_o.

8. Existen dos tipos de plástico apropiados para su uso por un fabricante de componentes electrónicos. La tensión de ruptura de ese plástico es un parámetro importante . Se sabe que ₁=₂= 1.0 psi. De una muestra aleatoria de tamaño 10 y 12 para cada plástico respectivamente, se tiene una media de 162.5 para el plástico 1 y de 155 para el plástico 2. La compañía no adoptará el plástico 1 a menos que la tensión de ruptura de éste exceda a la del plástico 2 al menos por 10 psi. Con base a la información contenida en la muestra, ¿la compañía deberá utilizar el plástico 1? Utilice 

= 0.05 para llegar a una decisión.

Solución:

1. Se trata de una distribución muestral de diferencia de medias con desviación estándar conocida.
2. Datos:

₁=₂= 1.0 psi
n₁= 10
n₂= 12= 0.05

3. Ensayo de hipótesis

H_o; ₁-₂ = 10
H₁; ₁-₂ > 10 Se desea rechazar H_o si la media del plástico 1 supera a la media del plástico 2 en por lo menos 10 psi.

4. Regla de decisión:
Si z_R 1.645 no se rechaza H_o. Si z_R> 1.645 se rechaza H_o.
5. Cálculos:

6. Justificación y decisión:

No existe evidencia suficiente para apoyar el uso del plástico 1 ya que
–5.83 1.645, por lo tanto no se rechaza H_o.

Solución por el otro método:

Regla de decisión:Si  10.70 No se rechaza H_o
Si > 10.70 Se rechaza H_o

Puesto que = 162.5-155 = 7.5 y este número es no es mayor a 10.7 por lo tanto no se rechaza H_o.

8. Se evalúan dos tipos diferentes de soluciones para pulir, para su posible uso en una operación de pulido en la fabricación de lentes intraoculares utilizados en el ojo humano después de una cirugía de cataratas. Se pulen 300 lentes con la primera solución y, de éstos, 253 no presentaron defectos inducidos por el pulido. Después se pulen otros 300 lentes con la segunda solución, de los cuales 196 resultan satisfactorios. ¿Existe alguna razón para creer que las dos soluciones para pulir son diferentes? Utilice 

= 0.01


Solución:

1. Se trata de una distribución muestral de diferencia de proporciones.
2. Datos:
p₁= 253/300= 0.8433 p₂ = 196/300= 0.6533 n₁=n₂ = 300
3. Ensayo de hipótesis:

H_o; P₁-P₂ = 0H₁; P₁-P₂  0

4. Regla de Decisión:

Si –2.575 Z_R 2.575 No se rechaza H_o
Si Z_R < -2.575 ó si Z_R > 2.575 Se rechaza H_o

5. Cálculos:

En esta fórmula se puede observar que en el denominador se tienen a las proporciones poblacionales o sea los parámetros, los cuales no se conocen, por lo que en el ensayo de hipótesis la fórmula para poder calcular la Z_R cambia, estimando a el parámetro común P de la siguiente forma:
 ó bien 
Entonces la fórmula de Z_R quedaría de la siguiente manera:

Se calculará el valor de P:


6. Justificación y decisión:

Puesto que 5.36>2.575, se rechaza la hipótesis nula y se concluye con un nivel de significancia de 0.01 que los dos fluidos para pulir son diferentes.

10. Se tomará el voto entre los residentes de una ciudad y el condado circundante para determinar si se debe construir una planta química propuesta. El lugar de construcción está dentro de los límites de la ciudad y por esta razón muchos votantes del condado consideran que la propuesta pasará debido a la gran proporción de votantes que favorecen la construcción. Para determinar si hay una diferencia significativa en la proporción de votantes de la ciudad y votantes del condado que favorecen la propuesta, se realiza una encuesta. Si 120 de 200 votantes de la ciudad favorecen la propuesta y 240 de 500 residentes del condado también lo hacen, ¿estaría de acuerdo en que la proporción de votantes de la ciudad que favorecen la propuesta es más alto que la proporción de votantes del condado? Utilice un nivel de significancia de 0.025.

Solución:

1. Se trata de una distribución muestral de diferencia de proporciones.
2. Datos:

p₁= 120/200= 0.60
p₂ = 240/500= 0.48
n₁ = 200
n₂ = 500

3. Ensayo de hipótesis:

H_o; P₁-P₂ = 0
H₁; P₁-P₂ > 0

4. Regla de decisión:
Si z_R 1.96 no se rechaza H_o. Si z_R> 1.96 se rechaza H_o.
5. Cálculos:

Se calculará el valor de P:

6. Justificación y decisión:

Puesto que 2.9>1.96, se rechaza la hipótesis nula y se concluye con un nivel de significancia de 0.025 que la proporción de votantes de la ciudad a favor de la propuesta es más alta que la proporción de votantes del condado.