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30/5/11

DISTRIBUCION JI-CUADRADA (X2)


En realidad la distribución ji-cuadrada es la distribución muestral de s2. O sea que si se extraen todas las muestras posibles de una población normal y a cada muestra se le calcula su varianza, se obtendrá la distribución muestral de varianzas.

Para estimar la varianza poblacional o la desviación estándar, se necesita conocer el estadístico X2. Si se elige una muestra de tamaño n de una población normal con varianza , el estadístico:

tiene una distribución muestral que es una distribución ji-cuadrada con gl=n-1 grados de libertad y se denota X2 (X es la minúscula de la letra griega ji). El estadístico ji-cuadrada esta dado por:
donde n es el tamaño de la muestra, s2 la varianza muestral y  la varianza de la población de donde se extrajo la muestra. El estadístico ji-cuadrada también se puede dar con la siguiente expresión:

Propiedades de las distribuciones ji-cuadrada
  1. Los valores de X2 son mayores o iguales que 0.
  2. La forma de una distribución X2 depende del gl=n-1. En consecuencia, hay un número infinito de distribuciones X2.
  3. El área bajo una curva ji-cuadrada y sobre el eje horizontal es 1.
  4. Las distribuciones X2 no son simétricas. Tienen colas estrechas que se extienden a la derecha; esto es, están sesgadas a la derecha.
  5. Cuando n>2, la media de una distribución X2 es n-1 y la varianza es 2(n-1).
  6. El valor modal de una distribución X2 se da en el valor (n-3).
La siguiente figura ilustra tres distribuciones X2. Note que el valor modal aparece en el valor (n-3) = (gl-2).
La función de densidad de la distribución X2 esta dada por:
para x>0
La tabla que se utilizará para estos apuntes es la del libro de probabilidad y estadística de Walpole, la cual da valores críticos  (gl) para veinte valores especiales de . Para denotar el valor crítico de una distribución X2 con gl grados de libertad se usa el símbolo  (gl); este valor crítico determina a su derecha un área de  bajo la curva X2 y sobre el eje horizontal. Por ejemplo para encontrar X20.05(6) en la tabla se localiza 6 gl en el lado izquierdo y a o largo del lado superior de la misma tabla.

Cálculo de Probabilidad
El cálculo de probabilidad en una distribución muestral de varianzas nos sirve para saber como se va a comportar la varianza o desviación estándar en una muestra que proviene de una distribución normal.

Ejemplos:
  1. Suponga que los tiempos requeridos por un cierto autobús para alcanzar un de sus destinos en una ciudad grande forman una distribución normal con una desviación estándar =1 minuto. Si se elige al azar una muestra de 17 tiempos, encuentre la probabilidad de que la varianza muestral sea mayor que 2.
    2. Solución:Primero se encontrará el valor de ji-cuadrada correspondiente a s2=2 como sigue:
    El valor de 32 se busca adentro de la tabla en el renglón de 16 grados de libertad y se encuentra que a este valor le corresponde un área a la derecha de 0.01. En consecuencia, el valor de la probabilidad es P(s2>2)
  2. Encuentre la probabilidad de que una muestra aleatoria de 25 observaciones, de una población normal con varianza 
, tenga una varianza muestral:

  1. Mayor que 9.1
  2. Entre 3.462 y 10.745

Solución.
  1. Primero se procederá a calcular el valor de la ji-cuadrada:
Al buscar este número en el renglón de 24 grados de libertad nos da un área a la derecha de 0.05. Por lo que la P(s2 >9.1) = 0.05

  1. Se calcularán dos valores de ji-cuadrada:
y 
Aquí se tienen que buscar los dos valores en el renglón de 24 grados de libertad. Al buscar el valor de 13.846 se encuentra un área a la derecha de 0.95. El valor de 42.98 da un área a la derecha de 0.01. Como se está pidiendo la probabilidad entre dos valores se resta el área de 0.95 menos 0.01 quedando 0.94.Por lo tanto la P(3.462  s2  10.745) = 0.94

Estimación de la Varianza
Para poder estimar la varianza de una población normal se utilizará la distribución ji-cuadrada.
Al despejar esta fórmula la varianza poblacional nos queda:
Los valores de X2 dependerán de nivel de confianza que se quiera al cual le llamamos . Si nos ubicamos en la gráfica se tiene:

Ejemplos:
  1. Los siguientes son los pesos, en decagramos, de 10 paquetes de semillas de pasto distribuidas por cierta compañía: 46.4, 46.1, 45.8, 47.0, 46.1, 45.9, 45.8, 46.9, 45.2 y 46. Encuentre un intervalo de confianza de 95% para la varianza de todos los paquetes de semillas de pasto que distribuye esta compañía, suponga una población normal.
    2. Solución:Primero se calcula la desviación estándar de la muestra: al elevar este resultado al cuadrado se obtiene la varianza de la muestra s2= 0.286.     Para obtener un intervalo de confianza de 95% se elige un = 0.05. Después con el uso de la tabla con 9 grados de libertad se obtienen los valores de X2.
    Se puede observar en la gráfica anterior que el valor de X2 corre en forma normal, esto es de izquierda a derecha. Por lo tanto, el intervalo de confianza de 95% para la varianza es:
    Graficamente:
    Se observa que la varianza corre en sentido contrario, pero esto es sólo en la gráfica. La interpretación quedaría similar a nuestros temas anteriores referentes a estimación. Con un nivel de confianza del 95% se sabe que la varianza de la población de los pesos de los paquetes de semillas de pasto esta entre 0.135 y 0.935 decagramos al cuadrado.
  2. En trabajo de laboratorio se desea llevar a cabo comprobaciones cuidadosas de la variabilidad de los resultados que producen muestras estándar. En un estudio de la cantidad de calcio en el agua potable, el cual se efectúa como parte del control de calidad, se analizó seis veces la misma muestra en el laboratorio en intervalos aleatorios. Los seis resultados en partes por millón fueron 9.54, 9.61, 9.32, 9.48, 9.70 y 9.26. Estimar la varianza de los resultados de la población para este estándar, usando un nivel de confianza del 90%.

Solución:Al calcular la varianza de la muestra se obtiene un valor de s2= 0.0285.
Se busca en la tabla los valores correspondientes con 5 grados de libertad, obteniéndose dos resultados. Para X2(0.95,5)= 1.145 y para X2(0.0,5)= 11.07.
Entonces el intervalo de confianza esta dado por:

y

Ensayo de Hipótesis para la Varianza de una Población Normal
En la mayoría de los casos se tiene el problema de desconocer la varianza o desviación estándar de la población, en donde las distribuciones son normales. Si se desea probar una hipótesis acerca de la varianza se puede hacer utilizando las medidas estadísticas con las que se construyó el intervalo de confianza , esto es con la distribución Ji- cuadrada.

Ejemplos:
  1. Una compañía que produce una parte maquinada para un motor, afirma que tiene una varianza de diámetro no mayor a 0.0002 pulgadas. Una muestra aleatoria de 10 de dichas partes dio una varianza de muestra s2 = 0.0003. Si se supone que las medidas del diámetro se distribuyen en forma normal, ¿hay evidencia para refutar lo que afirma el proveedor? Use = 0.05.
    2. Solución:Como en todos los ensayos de hipótesis que se han realizado anteriormente el procedimiento es el mismo. Después de que se identifican los datos, se plantea la hipótesis para determinar el tipo de ensayo. Datos: = 0.0002 n = 10 s2 = 0.0003= 0.05 Ensayo de hipótesis: Ho; = 0.0002 H1; > 0.0002
    Regla de decisión: Si X2R 16.919 no se rechaza Ho. Si X2R>16.919 se rechaza Ho. Cálculos:
    Justificación y decisión: Como 13.5 no es mayor que 16.919 por lo tanto no se rechaza Ho y se concluye con un nivel de significancia de 0.05 que no se puede refutar la afirmación del proveedor. Este ejercicio se puede aprovechar para calcular el valor de P. En la tabla se busca el valor de 13.5 en el renglón de 9 grados de libertad. Interpolando entre 0.10 y 0.20 se obtiene un valor de P de 0.1484.
  2. El contenido de azúcar del almíbar de los duraznos enlatados tiene una distribución normal, donde se cree que la varianza es  = 18 mg2. Se toma una muestra de 10 latas dieron una desviación estándar de 4.8 mg. ¿Muestran estos datos suficiente evidencia para decir que la varianza ha cambiado?. Use un  = 0.05 y calcule el valor de P.
    3. Solución:Datos: = 18 n = 10 s = 4.8= 0.05 Ensayo de hipótesis: Ho; = 18 H1;  18
    Regla de decisión: Si 2.7 X2R 19.023 no se rechaza Ho. Si X2R<2.7 ó si X2R>19.023 se rechaza Ho. Cálculos:
    Justificación y decisión: Como 11.52 está entre 2.7 y 19.023, no se rechaza Ho, y se concluye con un nivel de significancia de 0.05 que la varianza del contenido de azúcar del almíbar no ha cambiado, esto es es de 18 mg2.     Si recordamos al principio de este tema se dijo que la media de la distribución ji-cuadrada es (n-1), por lo tanto la media de este ejercicio es de 9. Como el valor real de X2R = 11.52 este número se encuentra a la derecha de la media, lo cual quiere decir que el valor de P/2 será el área a la derecha del valor de X2R. Al buscar el valor de 11.52 en la tabla se obtiene un área de 0.2423, por lo tanto P/2 = 0.2423 yP= (2)(0.2423) = 0.4846
  3. Experiencia anterior indica que el tiempo que se requiere para que los estudiantes de último año de preparatoria completen una prueba estandarizada es una variable aletoria normal con una desviación estándar de seis minutos. Se toma una muestra aleatoria de 20 estudiantes de último año de preparatoria y se obtiene una desviación estándar de 4.51. ¿Muestran estos datos suficiente evidencia para decir que la desviación estándar disminuyó?. Utilice el valor de P para su decisión.

Solución:
Datos:
= 6
n = 20
s = 4.51

Ensayo de hipótesis:
Ho;  = 6
H1;  < 6

Cálculos:

Para obtener el valor de P, se busca en la tabla el 10.735 con 19 grados de libertad, y el área que se encuentra es la que está a la derecha de este valor. Como la media de esta distribución ji-cuadrada es de 19, por lo tanto el valor de 10.735 queda a la izquierda de la media. El valor de P es de 0.07, y con esto se puede concluir que si hubiéramos utilizado un nivel de significancia de 0.10, se rechaza Ho y se concluye que la desviación estándar disminuyo, pero si se utiliza un valor de  = 0.05, entonces no se rechaza Ho y se concluiría que la desviación estándar no disminuyó. La decisión depende del error tipo I que esté dispuesto a tolerar el investigador.

Error tipo II ó 
El error tipo II se calcula de la misma forma en la que se calculó con la distribución z. Se realizarán algunos ejercicios en los cuales se determinará la probabilidad de cometer el error tipo II, utilizando la tabla de la distribución Ji-cuadrada.

  1. Se tiene un ensayo de hipótesis unilateral derecho, con n=20 y = 0.05
    2. Ho;  = 0.10 H1;  > 0.10 Se quiere calcular el error tipo II ó  si las desviaciones estándar verdaderas fueran de 0.12 y 0.14. Solución:Para poder calcular el error tipo II, primero se debe encontrar el valor de la varianza muestral límite, esto es s2L, para poder calcular los valores de X2 y posteriormente calcular el área. Al buscar en la tabla X2(0.05,19)=30.144, este valor se sustituirá en la formula. Al despejar de la fórmula original de X2 se obtiene:
  2. Encontrar el error tipo II para el ejercicio 2 de esta sección, en donde el ensayo es bilateral pues se quiere ver si la varianza del contenido de azúcar en el almíbar de los duraznos ha cambiado. Suponga una varianza real de 20 y 26.


Solución:Como este es un ensayo bilateral se tendrán dos valores de s2L. Los cuales se calcularán utilizando las ji-cuadradas límites que eran de de 2.7 y 19.023.


y
Estos dos valores se utilizarán para calcular las nuevas ji-cuadradas para calcular el valor de .


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