TEORIA DE PEQUEÑAS MUESTRAS O TEORIA EXACTA DEL MUESTREO

En las unidades anteriores se manejó el uso de la distribución z, la cual se podía utilizar siempre y cuando los tamaños de las muestras fueran mayores o iguales a 30 ó en muestras más pequeñas si la distribución o las distribuciones de donde proviene la muestra o las muestras son normales.

En esta unidad se podrán utilizar muestras pequeñas siempre y cuando la distribución de donde proviene la muestra tenga un comportamiento normal. Esta es una condición para utilizar las tres distribuciones que se manejarán en esta unidad; t de student, X² ji-cuadrada y Fisher.

A la teoría de pequeñas muestras también se le llama teoría exacta del muestreo, ya que también la podemos utilizar con muestras aleatorias de tamaño grande.

En esta unidad se verá un nuevo concepto necesario para poder utilizar a las tres distribuciones mencionadas. Este concepto es "grados de libertad".

Para definir grados de libertad se hará referencia a la varianza muestral:

Esta fórmula está basada en n-1 grados de libertad (degrees of freedom). Esta terminología resulta del hecho de que si bien s² está basada enn cantidades   . . . ,  éstas suman cero, así que especificar los valores de cualquier n-1 de las cantidades determina el valor restante. Por ejemplo, si n=4 y
;  y , entonces automáticamente tenemos , así que sólo tres de los cuatro valores de  están libremente determinamos 3 grados de libertad.

Entonces, en esta unidad la fórmula de grados de libertad será n-1 y su simbología 

DISTRIBUCION "t DE STUDENT"

Supóngase que se toma una muestra de una población normal con media  y varianza . Si es el promedio de las n observaciones que contiene la muestra aleatoria, entonces la distribución  es una distribución normal estándar. Supóngase que la varianza de la población ² es desconocida. ¿Qué sucede con la distribución de esta estadística si se reemplaza  por s? La distribución t proporciona la respuesta a esta pregunta.
La media y la varianza de la distribución t son  = 0 y  para >2, respectivamente.
La siguiente figura presenta la gráfica de varias distribuciones t. La apariencia general de la distribución t es similar a la de la distribución normal estándar: ambas son simétricas y unimodales, y el valor máximo de la ordenada se alcanza en la media  = 0. Sin embargo, la distribución ttiene colas más amplias que la normal; esto es, la probabilidad de las colas es mayor que en la distribución normal. A medida que el número de grados de libertad tiende a infinito, la forma límite de la distribución t es la distribución normal estándar.

Propiedades de las distribuciones t

1. Cada curva t tiene forma de campana con centro en 0.
2. Cada curva t, está más dispersa que la curva normal estándar z.
3. A medida que  aumenta, la dispersión de la curva t correspondiente disminuye.
4. A medida que  , la secuencia de curvas t se aproxima a la curva normal estándar, por lo que la curva z recibe a veces el nombre de curva t con gl = 

La distribución de la variable aleatoria t está dada por:

Esta se conoce como la distribución t con  grados de libertad.
Sean X₁, X₂, . . . , X_n variables aleatorias independientes que son todas normales con media  y desviación estándar . Entonces la variable aleatoria  tiene una distribución t con  = n-1 grados de libertad.

La distribución de probabilidad de t se publicó por primera vez en 1908 en un artículo de W. S. Gosset. En esa época, Gosset era empleado de una cervecería irlandesa que desaprobaba la publicación de investigaciones de sus empleados. Para evadir esta prohibición, publicó su trabajo en secreto bajo el nombre de "Student". En consecuencia, la distribución t normalmente se llama distribución t de Student, o simplemente distribución t. Para derivar la ecuación de esta distribución, Gosset supone que las muestras se seleccionan de una población normal. Aunque esto parecería una suposición muy restrictiva, se puede mostrar que las poblaciones no normales que poseen distribuciones en forma casi de campana aún proporcionan valores de t que se aproximan muy de cerca a la distribución t.

La distribución t difiere de la de Z en que la varianza de t depende del tamaño de la muestra y siempre es mayor a uno. Unicamente cuando el tamaño de la muestra tiende a infinito las dos distribuciones serán las mismas.
Se acostumbra representar con el valor t por arriba del cual se encuentra un área igual a . Como la distribución t es simétrica alrededor de una media de cero, tenemos; es decir, el valor t que deja un área de  a la derecha y por tanto un área de  a la izquierda, es igual al valor t negativo que deja un área de  en la cola derecha de la distribución. Esto es, t_0.95 = -t_0.05, t_0.99=-t_0.01, etc.

Para encontrar los valores de t se utilizará la tabla de valores críticos de la distribución t del libro Probabilidad y Estadística para Ingenieros de los autores Walpole, Myers y Myers.

Ejemplo:El valor t con  = 14 grados de libertad que deja un área de 0.025 a la izquierda, y por tanto un área de 0.975 a la derecha, es

t_0.975=-t_0.025 = -2.145

Si se observa la tabla, el área sombreada de la curva es de la cola derecha, es por esto que se tiene que hacer la resta de . La manera de encontrar el valor de t es buscar el valor de  en el primer renglón de la tabla y luego buscar los grados de libertad en la primer columna y donde se intercepten  y  se obtendrá el valor de t.

Ejemplo:
Encuentre la probabilidad de –t_0.025 < t < t_0.05.
Solución:

Como t_0.05 deja un área de 0.05 a la derecha, y –t_0.025 deja un área de 0.025 a la izquierda, encontramos un área total de 1-0.05-0.025 = 0.925.

P( –t_0.025 < t < t_0.05) = 0.925

Ejemplo:
Encuentre k tal que P(k < t < -1.761) = 0.045, para una muestra aleatoria de tamaño 15 que se selecciona de una distribución normal.
Solución:

Si se busca en la tabla el valor de t =1.761 con 14 grados de libertad nos damos cuenta que a este valor le corresponde un área de 0.05 a la izquierda, por ser negativo el valor. Entonces si se resta 0.05 y 0.045 se tiene un valor de 0.005, que equivale a . Luego se busca el valor de 0.005 en el primer renglón con 14 grados de libertad y se obtiene un valor de t = 2.977, pero como el valor de  está en el extremo izquierdo de la curva entonces la respuesta es t = -2.977 por lo tanto:

P(-2.977 < t < -1.761) = 0.045

Ejemplo:
Un ingeniero químico afirma que el rendimiento medio de la población de cierto proceso en lotes es 500 gramos por milímetro de materia prima. Para verificar esta afirmación toma una muestra de 25 lotes cada mes. Si el valor de t calculado cae entre –t_0.05 y t_0.05, queda satisfecho con su afirmación. ¿Qué conclusión extraería de una muestra que tiene una media de 518 gramos por milímetro y una desviación estándar de 40 gramos? Suponga que la distribución de rendimientos es aproximadamente normal.

Solución:De la tabla encontramos que t_0.05 para 24 grados de libertad es de 1.711. Por tanto, el fabricante queda satisfecho con esta afirmación si una muestra de 25 lotes rinde un valor t entre –1.711 y 1.711.
Se procede a calcular el valor de t:

Este es un valor muy por arriba de 1.711. Si se desea obtener la probabilidad de obtener un valor de t con 24 grados de libertad igual o mayor a 2.25 se busca en la tabla y es aproximadamente de 0.02. De aquí que es probable que el fabricante concluya que el proceso produce un mejor producto del que piensa.

INTERVALO DE CONFIANZA PARA ; CON  DESCONOCIDA

Si y s son la media y la desviación estándar de una muestra aleatoria de una población normal con varianza , desconocida, un intervalo de confianza de
()100% para  es:

donde _/2 es el valor t con  = n-1 grados de libertad, que deja un área de /2 a la derecha.
Se hace una distinción entre los casos de  conocida y  desconocida al calcular las estimaciones del intervalo de confianza. Se debe enfatizar que para el primer caso se utiliza el teorema del límite central, mientras que para  desconocida se hace uso de la distribución muestral de la variable aleatoria t. Sin embargo, el uso de la distribución t se basa en la premisa de que el muestreo se realiza de una distribución normal. En tanto que la distribución tenga forma aproximada de campana, los intervalos de confianza se pueden calcular cuando la varianza se desconoce mediante el uso de la distribución t y se puede esperar buenos resultados.
Con mucha frecuencia los estadísticos recomiendan que aun cuando la normalidad no se pueda suponer, con  desconocida y n30, s puede reemplazar a  y se puede utilizar el intervalo de confianza:

Por lo general éste se denomina como un intervalo de confianza de muestra grande. La justificación yace sólo en la presunción de que con una muestra grande como 30, s estará muy cerca de la  real y de esta manera el teorema del límite central sigue valiendo. Se debe hacer énfasis en que esto es solo una aproximación y que la calidad de este enfoque mejora a medida que el tamaño de la muestra crece más.

Ejemplos:

1. El contenido de siete contenedores similares de ácido sulfúrico son 9.8, 10.2, 10.4, 9.8, 10.0, 10.2, y 9.6 litros. Encuentre un intervalo de confianza del 95% para la media de todos los contenedores si se supone una distribución aproximadamente normal.
Solución:La media muestral y la desviación estándar para los datos dados son:
10 y s= 0.283
En la tabla se encuentra que t_0.025=2.447 con 6 grados de libertad, de aquí, el intervalo de confianza de 95% para  es:


Con un nivel de confianza del 95% se sabe que el promedio del contenido de los contenedores está entre 9.47 y 10.26 litros.
2. Un artículo publicado en el Journal of Testing and Evaluation presenta las siguientes 20 mediciones del tiempo de combustión residual en segundos de especímenes tratados de ropa de dormir para niños:

9.85 9.93 9.75 9.77 9.67
9.87 9.67 9.94 9.85 9.75
9.83 9.92 9.74 9.99 9.88
9.95 9.95 9.93 9.92 9.89
Se desea encontrar un nivel de confianza del 95% para el tiempo de combustión residual promedio. Supóngase que el tiempo de combustión residual sigue una distribución normal.
Solución:La media muestral y la desviación estándar para los datos dados son:

9.8525 y s= 0.0965

En la tabla se encuentra que t_0.025=2.093 con 19 grados de libertad, de aquí, el intervalo de confianza de 95% para  es:

Por lo tanto, se tiene una confianza del 95% de que el tiempo de combustión residual promedio se encuentra entre 9.8073 y 9.8977 segundos.

PRUEBA DE HIPOTESIS SOBRE LA MEDIA DE UNA DISTRIBUCION NORMAL, VARIANZA DESCONOCIDA

Ciertamente sospechamos que las pruebas sobre una media poblacional  con  desconocida, debe incluir el uso de la distribución t de Student. La estructura de la prueba es idéntica a la del caso de  conocida, con la excepción de que el valor  en la estadística de prueba se reemplaza por la estimación de s calculada y la distribución normal estándar se reemplaza con una distribución t.

Ejemplos:

1. El Instituto Eléctrico Edison publica cifras del número anual de Kilowatt-hora que gastan varios aparatos eléctrodomésticos. Se afirma que una aspiradora gasta un promedio de 46 kilowatt-hora al año. Si una muestra aleatoria de 12 hogares que se incluye en un estudio planeado indica que las aspiradoras gastan un promedio de 42 kilowatt-hora al año con una desviación estándar de11.9 kilowatt-hora, ¿esto sugiere con un nivel de significancia de 0.05 que las aspiradoras gastan, en promedio, menos de 46 kilowatt-hora anualmente? Suponga que la población de kilowatt-hora es normal.

Solución:

1. Datos:

= 46 kilowatt-hora
s= 11.9 kilowatt-hora
= 42 kilowatt-hora
n = 12 = 0.05

3. Ensayo de hipótesis
H_o;  = 46 kilowatt-hora H₁;  < 46 kilowatt-hora

4. Regla de decisión:

Si t_R  -1.796 No se rechaza H_o
Si t_R < -1.796 Se rechaza H_o

5. Cálculos:

6. Justificación y decisión:

Como –1.16 > -1.796, por lo tanto no se rechaza H_o y se concluye con un nivel de significancia del 0.05 que el número promedio de kilowwatt-hora que gastan al año las aspiradoras no es significativamente menor que 46.
Solución por el otro método:

Regla de decisión:Si  39.83 No se Rechaza H_o
Si < 39.83 Se rechaza H_o

Como la = 42 y este valor no es menor que 39.83 por lo tanto no se rechaza H_o.

Se puede aprovechar este ejemplo para calcular el valor de P , como el valor de t calculada es de –1.16, se busca en la tabla y se ve que el area a la izquierda de este valor es de 0.135 con 11 grados de libertad, por lo tanto no se rechaza H_o., ya que sería un valor alto para un nivel de significancia.

1. Un artículo publicado en la revista Materials Engineering describe los resultados de pruebas de resistencia a la adhesión de 22 especímenes de aleación U-700. La carga para la que cada especímen falla es la siguiente en MPa:

19.8	18.5	17.6	16.7	15.8
15.4	14.1	13.6	11.9	11.4
11.4	8.8	7.5	15.4	15.4
19.5	14.9	12.7	11.9	11.4
10.1	7.9

¿Sugieren los datos que la carga promedio de falla es mayor que 10Mpa? Supóngase que la carga donde se presenta la falla tiene una distribución normal, y utilicese  = 0.05. Calcule el valor de P.
Solución:

1. Datos:

= 10
s = 3.55
= 13.71
n = 22 = 0.05

3. Ensayo de hipótesis
H_o;  = 10 H₁;  > 10

4. Regla de decisión:
Si t_R 1.721 no se rechaza H_o. Si t_R> 1.721 se rechaza H_o.
5. Cálculos:

6. Justificación y decisión.

Como 4.90 >1.721 se rechaza H_o y se concluye con un nivel de significancia del 0.05 que la carga de falla promedio es mayor que 10Mpa.
Existe otra manera de resolver este ejercicio, tomando la decisión en base al estadístico real, en este caso la media de la muestra. De la fórmula de la distribución muestral de medias se despeja la media de la muestra:

Regla de decisión:Si  11.30 No se rechaza H_oSi > 11.30 Se rechaza H_oComo la media de la muestral es de 13.71 MPa y es mayor al valor de la media muestral límite de 11.30 por lo tanto se rechaza H_o y se llega a la misma conclusión.

Para calcular el valor de P se va a la tabla y se busca en 21 grados de libertad el valor de t = 4.90. Se obseva que el valor mayor de t que se encuentra en la tabla con 21 grados de libertad es de 3.819 el cual le corresponde un área a la derecha de 0.0005, por lo que para el valor de 4.90 el valor de P es practicamente cero, y esto apoya la decisión de rechazar H_o.

3. Los pesos en libras de una muestra aleatoria de bebés de seis meses son: 14.6, 12.5, 15.3, 16.1, 14.4, 12.9, 13.7 y 14.9. Haga una prueba con nivel de 5% de significancia para determinar si el peso promedio de todos los bebés de seis meses es distinto a 14 libras, suponga que sus pesos se distribuyen normalmente y calcule el valor de P.

Solución:

1. Datos:

= 14 libras
s = 1.21 libras
= 14.3 libras
n = 8= 0.05

2. Ensayo de hipótesis
H_o;  = 14 libras H₁;   14 libras

3. Regla de Decisión:

Si –2.365 t_R 2.365 No se rechaza H_o
Si t_R < -2.365 ó si t_R > 2.365 Se rechaza H_o

4. Cálculos:

5. Justificación y decisión:

Como –2.365 0.7012 2.365 por lo tanto, no se rechaza H_o y se concluye con un nivel de significancia del 0.05 que el peso promedio de todos los bebés de seis meses es de 14 libras.
Solución por el otro método:

 12.98 y 15.01

Regla de decisión:Si 12.98   15.01 No se rechaza H_o
Si < 12.98 ó > 15.01 se rechaza H_o

Como la = 14.3 libras, entonces no se rechaza H_o .
Para calcular el valor de P se busca en la tabla el valor de 0.7012 con 7 grados de libertad. Se obseva que este valor no se encuentra pero se puede interpolar entre los valores de 0.549 y 0.896 con áreas de 0.30 y 0.20 respectivamente. Interpolando linealmente se obtiene el valor de 0.2561.

Error tipo II ó 

El error tipo II se calcula de la misma forma en la que se calculó con la distribución z. Se realizarán algunos ejercicios en los cuales se determinará la probabilidad de cometer el error tipo II, utilizando la tabla de la distribución.

Existen curvas características de operación en los libros con diferentes grados de libertad para determinar los tamaños de muestra correspondientes según el grado de error que se quiera, recordando que entre mayor sea el tamaño de muestra menor será el error.

1. Se sabe que los voltajes de una marca de pilas tamaño C se distribuyen normalmente, se probó una muestra aleatoria de 15 y se encontró que la media es de 1.4 volts con una desviación estándar de 0.21 volts. En el nivel de significancia de 0.01:

1. ¿Indica esto que la media de los voltajes es menor que 1.5 volts?
2. Calcular la probabilidad de cometer el error tipo II si el voltaje promedio real de las pilas es de 1.3 volts.

Solución:

1. Datos:
= 1.5 volts. s= 0.21 volts = 1.4 volts. n = 15 = 0.01
2. Ensayo de hipótesis

H_o;  = 1.5 volts
H₁;  < 1.5 volts

3. Regla de decisión:

Si t_R  -2.624 No se rechaza H_o
Si t_R < -2.624 Se rechaza H_o

5. Cálculos:

6. Justificación y decisión:

Como –1.84 > -2.624, por lo tanto no se rechaza H_o y se concluye con un nivel de significancia del 0.01 que los voltajes de las pilas tamaño C no son menores a 1.5.
Para calcular el error tipo II se tiene que obtener el valor de  de la siguiente forma:

Para encontrar el valor de  se busca en la tabla de la distribución t el valor de 1.05 con 14 grados de libertad. Como este valor no se encuentra en la tabla se interpola entre 0.868 y 1.076 con un área de 0.20 y 0.15 respectivamente. Al interpolar se obtiene un área de 0.15612 y esta es la probabilidad de cometer el error tipoII cuando la media verdadera es de 1.3 volts y un tamaño de muestra de 15.

2. Para el ejercicio del peso de los bebés de 6 meses, calcular el error tipo II, si los pesos verdaderos hubieran sido de 11 y 14.5 libras.

Solución:Primero se calculan los valores de :

En este último cálculo para  se tendrá que analizar las áreas de los dos extremos, pues estas no están dentro de la región de aceptación, por lo tanto no se deben de tomar en cuenta para el error tipo II.
Se busca en la tabla el valor de 3.55 con 7 grados de libertad, y al interpolar nos da un área de 0.00475. El área correspondiente a 1.19 con 7 grados de libertad es de 0.1479. Por lo que =1-(0.00475+0.1479)= 0.8473

3. Para el ejercicio en donde se dan los resultados de pruebas de resistencia a la adhesión de 22 especímenes de aleación U-700., encontrar la probabilidad de cometer el error tipo II si la carga promedio de falla es igual a 11.

Solución:Primero se obtendrá el valor del estadístico límite: