30/5/11

La Estimación


El objetivo principal de la estadística inferencial es la estimación, esto es que mediante el estudio de una muestra de una población se quiere generalizar las conclusiones al total de la misma. Como vimos en la sección anterior, los estadísticos varían mucho dentro de sus distribuciones muestrales, y mientras menor sea el error estándar de un estadístico, más cercanos serán unos de otros sus valores.

Existen dos tipos de estimaciones para parámetros; puntuales y por intervalo. Una estimación puntual es un único valor estadístico y se usa para estimar un parámetro. El estadístico usado se denomina estimador.
Una estimación por intervalo es un rango, generalmente de ancho finito, que se espera que contenga el parámetro.

La inferencia estadística está casi siempre concentrada en obtener algún tipo de conclusión acerca de uno o más parámetros (características poblacionales). Para hacerlo, se requiere que un investigador obtenga datos muestrales de cada una de las poblaciones en estudio. Entonces, las conclusiones pueden estar basadas en los valores calculados de varias cantidades muestrales . Po ejemplo, representamos con (parámetro) el verdadero promedio de resistencia a la ruptura de conexiones de alambres utilizados para unir obleas de semiconductores. Podría tomarse una muestra aleatoria de 10 conexiones para determinar la resistencia a la ruptura de cada una, y la media muestral de la resistencia a la ruptura se podía emplear para sacar una conclusión acerca del valor de . De forma similar, si  es la varianza de la distribución de resistencia a la ruptura, el valor de la varianza muestral s2 se podría utilizar pra inferir algo acerca de .

Cuando se analizan conceptos generales y métodos de inferencia es conveniente tener un símbolo genérico para el parámetro de interés. Se utilizará la letra griega  para este propósito. El objetivo de la estimación puntual es seleccionar sólo un número, basados en datos de la muestra, que represente el valor más razonable de .
Una muestra aleatoria de 3 baterías para calculadora podría presentar duraciones observadas en horas de x1=5.0, x2=6.4 y x3=5.9. El valor calculado de la duración media muestral es = 5.77, y es razonable considerar 5.77 como el valor más adecuado de .

Una estimación puntual de un parámetro  es un sólo número que se puede considerar como el valor más razonable de . La estimación puntual se obtiene al seleccionar una estadística apropiada y calcular su valor a partir de datos de la muestra dada. La estadística seleccionada se llama estimador puntual de .

El símbolo (theta sombrero) suele utilizarse para representar el estimador de  y la estimación puntual resultante de una muestra dada. Entonces  se lee como "el estimador puntual de  es la media muestral ". El enunciado "la estimación puntual de  es 5.77" se puede escribir en forma abreviada .
Ejemplo:
En el futuro habrá cada vez más interés en desarrollar aleaciones de Mg de bajo costo, para varios procesos de fundición. En consecuencia, es importante contar con métodos prácticos para determinar varias propiedades mecánicas de esas aleaciones. Examine la siguiente muestra de mediciones del módulo de elasticidad obtenidos de un proceso de fundición a presión:
44.2 43.9 44.7 44.2 44.0 43.8 44.6 43.1
Suponga que esas observaciones son el resultado de una muestra aleatoria. Se desea estimar la varianza poblacional . Un estimador natural es la varianza muestral:

En el mejor de los casos, se encontrará un estimador  para el cualsiempre. Sin embargo,  es una función de las Xi muestrales, por lo que en sí misma una variable aleatoria.
+ error de estimación
entonces el estimador preciso sería uno que produzca sólo pequeñas diferencias de estimación, de modo que los valores estimados se acerquen al valor verdadero.
Insesgado.- Se dice que un estimador puntual es un estimador insesgado de  si , para todo valor posible de . En otras palabras, un estimador insesgado es aquel para el cual la media de la distribución muestral es el parámetro estimado. Si se usa la media muestral  para estimar la media poblacional , se sabe que la , por lo tanto la media es un estimador insesgado.

Eficiente o con varianza mínima.- Suponga que 1 y 2 son dos estimadores insesgados de . Entonces, aun cuando la distribución de cada estimador esté centrada en el valor verdadero de , las dispersiones de las distribuciones alrededor del valor verdadero pueden ser diferentes.
Entre todos los estimadores de  que son insesgados, seleccione al que tenga varianza mínima. El  resultante recibe el nombre de estimador insesgado con varianza mínima (MVUE, minimum variance unbiased estimator) de .
En otras palabras, la eficiencia se refiere al tamaño de error estándar de la estadística. Si comparamos dos estaíisticas de una muestra del mismo tamaño y tratamos de decidir cual de ellas es un estimador mas eficiente, escogeríamos la estadística que tuviera el menor error estándar, o la menor desviación estándar de la distribución de muestreo.
Tiene sentido pensar que un estimador con un error estándar menor tendrá una mayor oportunidad de producir una estimación mas cercana al parámetro de población que se esta considerando.
Como se puede observar las dos distribuciones tienen un mismo valor en el parámetro sólo que la distribución muestral de medias tiene una menor varianza, por lo que la media se convierte en un estimador eficiente e insesgado.

Coherencia.- Una estadística es un estimador coherente de un parámetro de población, si al aumentar el tamaño de la muestra se tiene casi la certeza de que el valor de la estadística se aproxima bastante al valor del parámetro de la población. Si un estimador es coherente se vuelve mas confiable si tenemos tamaños de muestras mas grandes.

Suficiencia.- Un estimador es suficiente si utiliza una cantidad de la información contenida de la muestra que ningún otro estimador podría extraer información adicional de la muestra sobre el parámetro de la población que se esta estimando.
Es decir se pretende que al extraer la muestra el estadístico calculado contenga toda la información de esa muestra. Por ejemplo, cuando se calcula la media de la muestra, se necesitan todos los datos. Cuando se calcula la mediana de una muestra sólo se utiliza a un dato o a dos. Esto es solo el dato o los datos del centro son los que van a representar la muestra. Con esto se deduce que si utilizamos a todos los datos de la muestra como es en el caso de la media, la varianza, desviación estándar, etc; se tendrá un estimador suficiente.

Un estimado puntual, por ser un sólo número, no proporciona por sí mismo información alguna sobre la precisión y confiabilidad de la estimación. Por ejemplo, imagine que se usa el estadístico para calcular un estimado puntual de la resistencia real a la ruptura de toallas de papel de cierta marca, y suponga que = 9322.7. Debido a la variabilidad de la muestra, nunca se tendrá el caso de que =. El estimado puntual nada dice sobre lo cercano que esta de . Una alternativa para reportar un solo valor del parámetro que se esté estimando es calcular e informar todo un intervalo de valores factibles, un estimado de intervalo o intervalo de confianza (IC). Un intervalo de confianza se calcula siempre seleccionando primero un nivel de confianza, que es una medida de el grado de fiabilidad en el intervalo. Un intervalo de confianza con un nivel de confianza de 95% de la resistencia real promedio a la ruptura podría tener un límite inferior de 9162.5 y uno superior de 9482.9. Entonces, en un nivel de confianza de 95%, es posible tener cualquier valor de  entre 9162.5 y 9482.9. Un nivel de confianza de 95% implica que 95% de todas las muestras daría lugar a un intervalo que incluye  o cualquier otro parámetro que se esté estimando, y sólo 5% de las muestras producirá un intervalo erróneo. Cuanto mayor sea el nivel de confianza podremos creer que el valor del parámetro que se estima está dentro del intervalo.
Una interpretación correcta de la "confianza de 95%" radica en la interpretación frecuente de probabilidad a largo plazo: decir que un evento A tiene una probabilidad de 0.95, es decir que si el experimento donde A está definido re realiza una y otra vez, a largo plazo A ocurrirá 95% de las veces. Para este caso
el 95% de los intervalos de confianza calculados contendrán a .
Esta es una construcción repetida de intervalos de confianza de 95% y se puede observar que de los 11 intervalos calculados sólo el tercero y el último no contienen el valor de .
De acuerdo con esta interpretación, el nivel de confianza de 95% no es tanto un enunciado sobre cualquier intervalo en particular, más bien se refiere a lo que sucedería si se tuvieran que construir un gran número de intervalos semejantes.

Encontrar z a partir de un nivel de confianza
Existen varias tablas en las cuales podemos encontrar el valor de z, según sea el área proporcionada por la misma. En esta sección se realizará un ejemplo para encontrar el valor de z utilizando tres tablas diferentes.

Ejemplo:
Encuentre el valor de z para un nivel de confianza del 95%.

Solución 1:Se utilizará la tabla que tiene el área bajo la curva de - hasta z. Si lo vemos gráficamente sería:
El nivel de confianza bilateral está dividido en partes iguales bajo la curva:
En base a la tabla que se esta utilizando, se tendrá que buscar el área de 0.975, ya que cada extremo o cola de la curva tiene un valor de 0.025.
Por lo que el valor de z es de 1.96.

Solución 2:Si se utiliza una tabla en donde el área bajo la curva es de 0 a z:
En este caso sólo se tendrá que buscar adentro de la tabla el área de 0.475 y el resultado del valor de z será el mismo, para este ejemplo 1.96.


Solución 3:Para la tabla en donde el área bajo la curva va desde z hasta :

Se busca el valor de 0.025 para encontrar z de 1.96.

Independientemente del valor del Nivel de Confianza este será el procedimiento a seguir para localizar a z. En el caso de que no se encuentre el valor exacto se tendrá que interpolar.

Es conocido de nosotros durante este curso, que en base a la distribución muestral de medias que se generó en el tema anterior, la formula para el calculo de probabilidad es la siguiente: . Como en este caso no conocemos el parámetro y lo queremos estimar por medio de la media de la muestra, sólo se despejará  de la formula anterior, quedando lo siguiente:
De esta formula se puede observar que tanto el tamaño de la muestra como el valor de z se conocerán. Z se puede obtener de la tabla de la distribución normal a partir del nivel de confianza establecido. Pero en ocasiones se desconoce  por lo que en esos casos lo correcto es utilizar otra distribución llamada "t" de student si la población de donde provienen los datos es normal.
Para el caso de tamaños de muestra grande se puede utilizar una estimación puntual de la desviación estándar, es decir igualar la desviación estándar de la muestra a la de la población (s=).

Ejemplos:
  1. Se encuentra que la concentración promedio de zinc que se saca del agua a partir de una muestra de mediciones de zinc en 36 sitios diferentes es de 2.6 gramos por mililitro. Encuentre los intervalos de confianza de 95% y 99% para la concentración media de zinc en el río. Suponga que la desviación estándar de la población es 0.3.
  2. Solución:La estimación puntual de  es= 2.6. El valor de z para un nivel de confianza del 95% es 1.96, por lo tanto:
    Para un nivel de confianza de 99% el valor de z es de 2.575 por lo que el intervalo será más amplio:
    El intervalo de confianza proporciona una estimación de la presición de nuestra estimación puntual. Si  es realmente el valor central de intervalo, entonces estima  sin error. La mayor parte de las veces, sin embargo,  no será exactamente igual a  y la estimación puntual es errónea. La magnitud de este error será el valor absoluto de la diferencia entre  y , y podemos tener el nivel de confianza de que esta diferencia no excederá . Como se puede observar en los resultados del ejercicio se tiene un error de estimación mayor cuando el nivel de confianza es del 99% y más pequeño cuando se reduce a un nivel de confianza del 95%.
  3. Una empresa eléctrica fabrica focos que tienen una duración aproximadamente distribuida de forma normal con una desviación estándar de 40 horas. Si una muestra de 30 focos tiene una duración promedio de 780 horas, encuentre un intervalos de confianza de 96% para la media de la población de todos los focos que produce esta empresa.
  4. Solución:
    Con un nivel de confianza del 96% se sabe que la duración media de los focos que produce la empresa está entre 765 y 765 horas.
  5. La prueba de corte sesgado es el procedimiento más aceptado para evaluar la calidad de una unión entre un material de reparación y su sustrato de concreto. El artículo "Testing the Bond Between Repair Materials and Concrete Substrate" informa que, en cierta investigación, se obtuvo una resistencia promedio muestral de 17.17 N/mm2, con una muestra de 48 observaciones de resistencia al corte, y la desviación estándar muestral fue 3.28 N/mm2. Utilice un nivel de confianza inferior del 95% para estimar la media real de la resistencia al corte.

Solución:En este ejercicio se nos presentan dos situaciones diferentes a los ejercicios anteriores. La primera que desconoce la desviación estándar de la población y la segunda que nos piden un intervalo de confianza unilateral.
El primer caso ya se había comentado y se solucionará utilizando la desviación estándar de la muestra como estimación puntual de sigma.
Para el intervalo de confianza unilateral, se cargará el área bajo la curva hacia un solo lado como sigue:



Esto quiere decir que con un nivel de confianza de 95%, el valor de la media está en el intervalo (16.39, ).

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