Servicio de Asesoría Metodológica

Servicio de Asesoría Metodológica:

Asesoramos en forma integral tesis de grado y proyectos sólo en Venezuela. Todas las carreras: TSU, Pre grado y Post grado. Análisis estadísticos, acompañamiento en correcciones. Utilizamos las normas UPEL, incluyendo además reglamentos o normas de la Universidad o Instituto al cual pertenezcas. (No tenemos agencias en ningún otro país)

6/6/11

Distribución binomial

Una persona arroja un dado apostando con otra a que saca un as (un 1). La probabilidad de sacar el as es igual a:



Es decir que la probabilidad que tiene de acertar es 17 % aproximadamente. Ahora, supongamos que la persona arroja 5 dados iguales a la vez. ¿Cuál es la probabilidad de que saque 0, 1, 2, 3... unos?.
Cuando realizamos una experiencia individual donde el resultado debe ser sólo uno de dos posibles: acierto/fallo, cara/cruz, etc. decimos que es un ensayo de Bernouilli.

¿Es tan probable sacar 1 ó 2 ases como sacar 5 ases?. A priori parecería que no. En nuestro caso, cada vez que arrojamos un dado podemos definir nuestro experimento registrando sólo dos resultados posibles:
experimento aleatorio
Cada acto individual de arrojar un dado es independiente de los otros y las probabilidades de obtener un as o de no obtener ninguno, son, respectivamente :
control estadistico de procesos experimento aleatorio Por lo que, cuando arrojamos 5 dados, la probabilidad de obtener 5 ases es:

probabilidades

Y la probabilidad de no obtener ningún As en los 5 dados arrojados es:

probabilidades

Nos falta calcular las probabilidades intermedias, es decir la probabilidad de obtener 1, 2, 3...ases. Es posible calcular todas estas probabilidades con una fórmula binomial. ¿Cuál es la probabilidad de sacar un As al arrojar cinco dados? Por ejemplo, una forma es que salga un As en el primer dado.

La probabilidad de sacar 1 As en el primer dado y no sacar As en los otros cuatro es:

probabilidades
Pero hay 5 formas diferentes de obtener 1 As en cinco dados arrojados: que se obtenga en el 1º de los dado, o en el 2º o en el 3º o en el 4º o en el 5º.
Por lo tanto, la probabilidad de sacar 1 As al arrojar 5 dados es:
probabilidades

¿Cómo podemos generalizar el cálculo de las distintas formas de obtener 1 As, 2 Ases, etc. en cinco dados arrojados? La respuesta la dan los números combinatorios:
número combinatorio; donde : m! = 1*2*3*…*m y n! = 1*2*3*…*n

son el factorial de m y de n respectivamente.
La expresión representa el número de combinaciones de m elementos tomados de n en n (agrupados de n en n).
Por ejemplo, si tenemos las 5 letras A, B, C, D y E, y queremos saber cuantas son todas las combinaciones posibles agrupándolas de a tres en cualquier orden: ABC, ADC,...etc., tenemos : número combinatorio
Y las distintas combinaciones son :

    ABC, ABD, ABE, ACD, ACE, ADE, BCD, BCE, BDE, CDE
Supongamos que se realizan n ensayos de Bernoulli, con probabilidad p de tener un acierto, ó (1-p) de tener un fallo. Entonces, la probabilidad de obtener y aciertos en n ensayos de Bernouilli es:
ensayos de Bernouilli
Esta probabilidad es un término del binomio siguiente:
probabilidad binomial, donde p+q = 1
Los términos de la suma son las probabilidades P(y), que determinan la distribución de probabilidades de la variable aleatoria y, la cual es una variable discreta (toma los valores 0, 1, 2, ...etc.). Aplicando la fórmula al caso de 5 dados:

probabilidades

Las probabilidades de no sacar ningún As o de sacar uno, dos, tres, cuatro o cinco, son :

tabla de datos
¿Cuáles son los parámetros estadísticos de la variable aleatoria Y ?
La media es: control estadistico de procesos; la varianza es: control estadistico de procesos, y, finalmente, la desviación standard resulta: desviación standard
En la experiencia de arrojar 5 dados: control estadistico de procesos
¿Cómo interpretamos este resultado? Si bien el promedio resulta un valor fraccionario, nos está diciendo que al arrojar los cinco dados estaremos más cerca de sacar 1 As que de sacar 2 o más ases. De una manera más rigurosa, ese valor nos dice que si se repitiera la experiencia muchas veces, el promedio del número de ases que se obtendría en todos los experimentos sería igual a 0.83
La varianza de Y resulta ser control estadistico de procesos y la desviación standard:
desviación standard

Volvamos, ahora a nuestro jugador. Supongamos que arroja 5 dados y apuesta a que va a sacar 3 o más ases, ¿cuál es la probabilidad que tiene de ganar?
Esta probabilidad es la suma de los términos del binomio para 3, 4 y 5 aciertos (ases), es decir:
probabilidad
Lo que significa una probabilidad de ganar de aproximadamente el 3,5 %.

1 comentario:

  1. Excelente explicacion!!!
    Haces que quede mas que clarisimo...

    Solo resta decir, que para aquellos que deseen realizar un pequeño programa para calcular la probabilidad binomial, aqui pueden hallar un codigo muestra...

    http://waystop.blogspot.com/2011/11/probabilidad-binomial-codigo-c.html

    Saludos

    ResponderEliminar