Servicio de Asesoría Metodológica

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6/6/11

FUNCIONES DE DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDADES

A medida que aumentamos la cantidad de observaciones que tomamos de la población, podemos construir nuestro gráfico con un número mayor de intervalos, aunque de menor amplitud (El rango total cubierto por la población es el mismo).

distribución de frecuencias
Si continuamos este proceso,
 con intervalos cada vez 
mas estrechos y numerosos,
 los altibajos en el gráfico
 de la distribución de
 frecuencias tienden a 
desaparecer.
 En el límite, el ancho del 

intervalo tiende a cero y la 
población puede representarse
 por una distribución
 de probabilidad continua.
Cuando, para representar esta distribución de probabilidad continua se utiliza
 una función matemática, esta se denomina Función de Densidad de Probabilidad.
La forma de la curva en el gráfico de la función de distribución es característica de la población de observaciones asociada con la misma, y depende de variables internas del proceso que generó los datos de la población.Existen distintas funciones de distribución teóricas, cada una de las cuales está basada en un modelo de comportamiento del proceso que generó el universo de observaciones.
distribución de frecuencias
La aplicación de una de estas distribuciones teóricas a una población particular está
 justificada si las hipótesis (suposiciones) del modelo de comportamiento del 
proceso que generó la población se cumplen. Dicho de otro modo, si conocemos
 el proceso, es decir, el conjunto de fenómenos que dieron lugar a nuestra
 población de mediciones u observaciones, y además estamos seguros de
 que el mismo se ajusta a un modelo de comportamiento determinado, entonces
 podemos decir que la distribución de probabilidades de nuestra población es la que corresponde al modelo.
En la práctica, se sabe que ciertos procesos y fenómenos generan resultados 
numéricos cuya distribución de probabilidades se puede ajustar a determinados 
modelos teóricos. Por ejemplo, el número de partículas alfa emitidas por un material
 radiactivo sigue una distribución de Poisson.
Existen muchas otras distribuciones teóricas, como la Binomial, la Exponencial, la 

de Weisbull, etc. Cada una de ellas tiene su propio campo de aplicación, que se
 sostiene en un determinado comportamiento de los fenómenos, y al aplicarla se
 está haciendo en forma implícita la suposición de que se cumplen las suposiciones
 del modelo subyacente.
La Distribución Normal

Una distribución muy importante es la Distribución Normal o de Gauss.
La ecuación matemática de la función de Gauss es la siguiente:

función de Gauss
grafico de distribución normal
La distribución normal es una curva con forma de campana, con eje de simetría en
 el punto correspondiente al promedio del universo m. La distancia entre el eje de 
simetría de la campana y el punto de inflexión de la curva es igual a s, la desviación
 standard de la población.
El área total debajo de la curva es igual a 1. El área debajo de la curva comprendida 

entre m - s y m + s es aproximadamente igual a 0,68 del área total;
 entre m - 2s y m + 2s es aproximadamente igual a 0,95 del área total:
Es importante ver que los únicos parámetros necesarios para dibujar el gráfico 

de la distribución normal son y (Media y desviación standard de la población). 
 Con estos dos parámetros sabemos donde situar la campana de Gauss 
(En el punto correspondiente a la media) y cual es su ancho (Determinado por 
la desviación standard).
Cuando nos encontramos con una población de observaciones, si podemos

 afirmar que la distribución correspondiente es normal, sólo hace falta estimar
 la media y la desviación standard para tener toda la información necesaria
 acerca de dicha población.
La Distribución Normal Standard
 Podemos escribir la fórmula de la distribución normal de la siguiente manera:

distribución normal con variable z

Esta es la fórmula de la Distribución Normal Standard o Tipificada. Como podemos 

observar, en ella hay un sólo parámetro, Z, que incluye al promedio y la desviación 
 standard de la población. Esta función está tabulada.
Al calcular Z, lo que estamos haciendo, en realidad, es un cambio de variable por

 el cual movemos la campana de Gauss centrándola en el 0 del eje X, y modificamos
 el ancho para que la desviación standard sea 1.

distribución normal
De esta manera tenemos
 tabulada una función de 
Gauss que no depende de 
cual sea el promedio 
y la desviación standard 
de nuestra población real. 
El cambio de variable hace 
que se conserve la forma 
de la función y que sirva 
para cualquier población, 
siempre y cuando esa 
población tenga una 
distribución normal.
Cuando queremos calcular las probabilidades para una población real, 
calculamos Z y entramos en la tabla de la función normal estandard.

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