Servicio de Asesoría Metodológica

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7/6/11

Medidas de posición central

Las medidas de posición nos facilitan información sobre la serie de datos que estamos analizando. Estas medidas permiten conocer diversas características de esta serie de datos.Las medidas de posición son de dos tipos:
a) Medidas de posición central: informan sobre los valores medios de la serie de datos.
b) Medidas de posición no centrales: informan de como se distribuye el resto de los valores de la serie.
a) Medidas de posición central
Las principales medidas de posición central son las siguientes:
1.- Media: es el valor medio ponderado de la serie de datos. Se pueden calcular diversos tipos de media, siendo las más utilizadas:
a) Media aritmética: se calcula multiplicando cada valor por el número de veces que se repite. La suma de todos estos productos se divide por el total de datos de la muestra:
Xm =
(X1 * n1) + (X2 * n2) + (X3 * n3) + .....+ (Xn-1 * nn-1) + (Xn * nn)
---------------------------------------------------------------------------------------
n
b) Media geométrica: se eleva cada valor al número de veces que se ha repetido. Se multiplican todo estos resultados y al producto fiinal se le calcula la raíz "n" (siendo "n" el total de datos de la muestra).
Según el tipo de datos que se analice será más apropiado utilizar la media aritmética o la media geométrica.
La media geométrica se suele utilizar en series de datos como tipos de interés anuales, inflación, etc., donde el valor de cada año tiene un efecto multiplicativo sobre el de los años anteriores. En todo caso, la media aritmética es la medida de posición central más utilizada.
Lo más positivo de la media es que en su cálculo se utilizan todos los valores de la serie, por lo que no se pierde ninguna información.
Sin embargo, presenta el problema de que su valor (tanto en el caso de la media aritmética como geométrica) se puede ver muy influido por valores extremos, que se aparten en exceso del resto de la serie. Estos valores anómalos podrían condicionar en gran medida el valor de la media, perdiendo ésta representatividad.
2.- Mediana: es el valor de la serie de datos que se sitúa justamente en el centro de la muestra (un 50% de valores son inferiores y otro 50% son superiores).
No presentan el problema de estar influido por los valores extremos, pero en cambio no utiliza en su cálculo toda la información de la serie de datos (no pondera cada valor por el número de veces que se ha repetido).
3.- Moda: es el valor que más se repite en la muestra.
Ejemplo: vamos a utilizar la tabla de distribución de frecuencias con los datos de la estatura de los alumnos que vimos en la lección 2ª.
Variable
Frecuencias absolutas
Frecuencias relativas
(Valor)
Simple
Acumulada
Simple
Acumulada
xxxxx
1,20
1
1
3,3%
3,3%
1,21
4
5
13,3%
16,6%
1,22
4
9
13,3%
30,0%
1,23
2
11
6,6%
36,6%
1,24
1
12
3,3%
40,0%
1,25
2
14
6,6%
46,6%
1,26
3
17
10,0%
56,6%
1,27
3
20
10,0%
66,6%
1,28
4
24
13,3%
80,0%
1,29
3
27
10,0%
90,0%
1,30
3
30
10,0%
100,0%
Vamos a calcular los valores de las distintas posiciones centrales:
1.- Media aritmética:
Xm =
(1,20*1) + (1,21*4) + (1,22 * 4) + (1,23 * 2) + ......... + (1,29 * 3) + (1,30 * 3)
--------------------------------------------------------------------------------------------------
30
Luego:
Xm =
1,253
Por lo tanto, la estatura media de este grupo de alumnos es de 1,253 cm.
2.- Media geométrica:
X =
((1,20^ 1) * (1,21^4) * (1,22^ 4) * .....* (1,29^3)* (1,30^3)) ^ (1/30)
Luego:
Xm =
1,253
En este ejemplo la media aritmética y la media geométrica coinciden, pero no tiene siempre por qué ser así.
3.- Mediana:
La mediana de esta muestra es 1,26 cm, ya que por debajo está el 50% de los valores y por arriba el otro 50%. Esto se puede ver al analizar la columna de frecuencias relativas acumuladas.
En este ejemplo, como el valor 1,26 se repite en 3 ocasiones, la media se situaría exactamente entre el primer y el segundo valor de este grupo, ya que entre estos dos valores se encuentra la división entre el 50% inferior y el 50% superior.
4.- Moda:
Hay 3 valores que se repiten en 4 ocasiones: el 1,21, el 1,22 y el 1,28, por lo tanto esta seria cuenta con 3 modas.
 Medidas de posición central
Son aquellas medidas que nos ayudan a saber donde están los datos pero sin indicar como se distribuyen.
a) Media o promedio
La media aritmética o simplemente media, que denotaremos por, es el resultado obtenido al dividir la suma de todos los valores de la variable entre el número total de observaciones, expresada por la siguiente fórmula:
Función PROMEDIO
Devuelve el promedio (media aritmética) de los argumentos.
Sintaxis PROMEDIO (número1; número2;...)
Número1, número2,... son entre 1 y 30 argumentos numéricos cuyo promedio desea obtener.
Observaciones
- Los argumentos deben ser números o nombres, matrices o referencias que contengan números.
- Si el argumento matricial o de referencia contiene texto, valores lógicos o celdas vacías, estos valores no son considerados; sin embargo, las celdas con valor cero son incluidas.
Sugerencia
Cuando calcule el promedio de celdas, tenga en cuenta la diferencia existente entre las celdas vacías, de manera especial si ha quitado la marca a la casilla Valores cero en la ficha Ver (comando Opciones en el menú Herramientas). Las celdas vacías no se cuentan pero sí los valores cero.
Ejercicio 03 (Media aritmética)
¿Cuál será la media aritmética de los números 10, 5, 8, 14, 13?
1º aplicando la fórmula (28), tenemos:
2º Aplicando la función Promedio de Excel, tenemos:
b) Mediana
La mediana de una serie de datos ordenados en orden de magnitud es el valor medio o la media aritmética de los dos valores medios.
Función MEDIANA
Devuelve la mediana de los números. La mediana es el número que se encuentra en medio de un conjunto de números, es decir, la mitad de los números es mayor que la mediana y la otra mitad es menor.
Sintaxis MEDIANA (número1; número2; ...)
Número1, número2,... son entre 1 y 30 números cuya mediana desea obtener.
Observaciones
- Los argumentos deben ser números o nombres, matrices o referencias que contengan números. Microsoft Excel examina todos los números en cada argumento matricial o de referencia.
- Si el argumento matricial o de referencia contiene texto, valores lógicos o celdas vacías, estos valores se pasan por alto; sin embargo, se incluirán las celdas con el valor cero.
- Si la cantidad de números en el conjunto es par, MEDIANA calcula el promedio de los números centrales.
Ejercicio 02 (Mediana)
(1) Tenemos la siguiente serie:
La mediana de esta serie es 6.
(2) Tenemos la siguiente serie:
La mediana de esta serie de números es 10:
c) Moda
La moda es el valor de la variable que más veces se repite, es decir, es el valor más común o más de moda. La moda puede no existir, incluso si existe puede no ser única.
Función MODA
Devuelve el valor que se repite con más frecuencia en una matriz o rango de datos. Al igual que MEDIANA, MODA es una medida de posición.
Sintaxis MODA (número1; número2;...)
Número1, número2,... son de 1 a 30 argumentos cuya moda desea calcular. También puede utilizar una matriz única o una referencia matricial en lugar de argumentos separados con punto y coma.
Observaciones
- Los argumentos deben ser números, nombres, matrices o referencias que contengan números.
- Si el argumento matricial o de referencia contiene texto, valores lógicos o celdas vacías, estos valores se pasan por alto; sin embargo, se incluirán las celdas con el valor cero.
- Si el conjunto de datos no contiene puntos de datos duplicados, MODA devuelve el valor de error #N/A.
En un conjunto de valores, la moda es el valor que se repite con mayor frecuencia; la mediana es el valor central y la media es el valor promedio. Ninguna de estas medidas de la tendencia central tomada individualmente proporciona una imagen completa de los datos. Supongamos que los datos están agrupados en tres áreas, la mitad de las cuales es un valor bajo que se repite y la otra mitad consiste en dos valores elevados. Tanto PROMEDIO como MEDIANA devolverán un valor situado en una zona central relativamente vacía, y MODA devolverá el valor bajo dominante.
Ejemplo 1
La serie: 2, 2, 5, 7, 9, 9, 9, 10, 10, 11, 12, 18 la moda es 9
Ejemplo 2
La serie: 3, 5, 8, 10, 12, 15, 16 no tiene moda
Ejemplo 3
La serie: 2, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 7, 7, 9 tiene dos modas, por ello es bimodal

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