Medidas de Centralización:

MEDIA

Vamos a estudiar en este apartado los distintos tipos de media que hemos detallado en el apartado anterior

Media aritmética:

La media aritmética de una variable se define como la suma ponderada de los valores de la variable por sus frecuencias relativas y lo denotaremos por y se calcula mediante la expresión:

 x_i representa el valor de la variable o en su caso la marca de clase.

Propiedades:

1. Si multiplicamos o dividimos todas las observaciones por un mismo número, la media queda multiplicada o dividida por dicho numero.
2. Si le sumamos a todas las observaciones un mismo número, la media aumentará en dicha cantidad.
3. Además de la media aritmética existen otros conceptos de media, como son la media geométrica y la media armónica.

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Media geométrica:

La media geométrica de N observaciones es la raíz de índice N del producto de todas las observaciones. La representaremos por G.

Solo se puede calcular si no hay observaciones negativas. Es una medida estadística poco o nada usual.

Media armónica:

La media armónica de N observaciones es la inversa de la media de las inversas de las observaciones y la denotaremos por H

Al igual que en el caso de la media geométrica su utilización es bastante poco frecuente.

Mediana:

La mediana es el valor central de la variable, es decir, supuesta la muestra ordenada en orden creciente o decreciente, el valor que divide en dos partes la muestra.

Para calcular la mediana debemos tener en cuenta si la variable es discreta o continua.

Cálculo de la mediana en el caso discreto:

Tendremos en cuenta el tamaño de la muestra.

Si N es Impar, hay un término central, el término que será el valor de la mediana.

Si N es Par, hay dos términos centrales, la mediana será la media de esos dos valores

Veamos un ejemplo.

N Impar

N par
1,4,6,7,8,9,12,16,20, 24,25,27 N=12	1,4,6,7,8,9,12,16,20, 24,25,27,30 N=13
Términos Centrales el 6º y 7º 9 y 12	Término Central el 7º , 12
Me=9+12/2=10,5	Me=12

Cálculo de la mediana en el caso continuo:

Si la variable es continua, la tabla vendrá en intervalos, por lo que se calcula de la siguiente forma:

Nos vamos a apoyar en un gráfico de un histograma de frecuencias acumuladas.

De donde la mediana vale: donde a_i es la amplitud del intervalo

Veámoslo por medio de un ejemplo.

Supongamos los pesos de un grupo de 50 personas se distribuyen de la siguiente forma:

Li-1	Li	ni	Ni	Como el tamaño de la muestra es N=50, buscamos el intervalo en el que  la Frecuencia acumulada es mayor que 50/2=25, que en este caso es el 3º  y aplicamos la fórmula anterior. Luego la Mediana será Me=65+50/2-16/35-16 x 10=69,74
45	55	6	6
55	65	10	16
65	75	19	35
75	85	11	46
85	95	4	50

MODA

La moda es el valor de la variable que tenga mayor frecuencia absoluta, la que más se repite, es la única medida de centralización que tiene sentido estudiar en una variable cualitativa, pues no precisa la realización de ningún cálculo.

Por su propia definición, la moda no es única, pues puede haber dos o más valores de la variable que tengan la misma frecuencia siendo esta máxima. En cuyo caso tendremos una distribución bimodal o polimodal según el caso.

Por lo tanto el cálculo de la moda en distribuciones discretas o cualitativas no precisa de una explicación mayor; sin embargo, debemos detenernos un poco en el cálculo de la moda para distribuciones cuantitativas continuas.

Apoyándonos en el gráfico podemos llegar a la determinación de la expresión para la Moda que es: 

Otros autores dan una expresión aproximada para la moda que viene dada por la siguiente expresión:

Veamos su cálculo mediante un ejemplo, para ello usaremos los datos del apartado anterior

Li-1	Li	ni	Ni	Mo= 65+19-10/(19-10)+(19-11)x10=70,29 Utilizando la fórmula aproximada Mo= 65+11/10+11x10= 70,24
45	55	6	6
55	65	10	16
65	75	19	35
75	85	11	46
85	95	4	50