Distribución de Poisson

 

Para entender la Distribución de Poisson, vamos analizar un ejemplo detenidamente. Supongamos que se tiene una tabla rectangular de madera, de 1 metro por 1 metro, pintada con un recubrimiento sobre cuya superficie se presentan aleatoriamente pequeños defectos. Estos defectos podrían ser por ejemplo partículas muy pequeñas de pigmento que no fueron bien molidas al fabricar la pintura. Se desea calcular la probabilidad de que aparezcan estos defectos y para ello podríamos subdividir la superficie en zonas rectangulares mas pequeñas y de igual tamaño :
Tenemos la superficie dividida en 4 zonas rectangulares de igual tamaño. Observamos que en algunas zonas aparece un defecto superficial y en otras no. Vamos a hacer las siguientes suposiciones:

• En cada zona sólo puede aparecer 1 defecto.
• Si la probabilidad de que aparezca un defecto en todo el área es p, la probabilidad de que aparezca un defecto en una zona es p/4.

Entonces, utilizando la Distribución Binomial podemos calcular la probabilidad de que en nuestra superficie aparezcan 0, 1, 2, 3, 4 defectos:

El promedio de defectos en la superficie total será:

Pero sabemos que en realidad en cada zona podrían aparecer más de 1 defecto. Esto hace inexacto nuestro cálculo. Podríamos hacer el cálculo más exacto si subdividimos las zonas:
Dividimos cada zona en 4 y ahora tenemos 16 zonas. La probabilidad de tener 1 defecto en una zona es p/16 con lo que podemos entonces calcular la probabilidad de tener 0, 1, 2, 3, ...., 16 defectos en el área total:

Y el promedio de defectos en la superficie resulta ser el mismo que antes:

Aún así podrían aparecer más defectos por zona, por lo que si dividimos nuevamente cada zona en 4 tendríamos 64 zonas y ahora la probabilidad de tener 1 defecto en una zona sería p/64
La probabilidad de tener 0, 1, 2, 3, ....., 64 defectos en la superficie total sería:

Y nuevamente el promedio de defectos en la superficie es p.
Lo que estamos haciendo es ir aumentando n al mismo tiempo que disminuye p en igual proporción y de ese modo, el promedio de defectos en la superficie total n.p se mantiene constante. Como vimos, al suponer que en cada subzona sólo puede haber 1 defecto o ningún defecto estamos cometiendo un error. Este error se hace cada vez menor, porque a medida que subdividimos el area total se hace menos probable que en una subzona aparezca más de un defecto. Si continuamos subdividiendo el área indefinidamente, la fórmula binomial nos dará la probabilidad de obtener 0, 1, 2, 3, ... n defectos, con n tendiendo a infinito.
En el límite, la fórmula binomial tiende a la fórmula de Poisson:

donde x es la variable aleatoria y l el parámetro de la distribución de Poisson. En el límite, el producto de n por p, , es igual al parámetro de la distribución:
El número de defectos x en la superficie total es una variable aleatoria discreta que puede tomar valores 0, 1, 2, 3, 4, ... y cuya distribución de probabilidades se conoce como Distribución de Poisson.

Se puede observar que la curva de la función de Poisson es asimétrica, como la binomial. El promedio y la varianza de esta variable aleatoria son iguales al parámetro de la distribución:

Por lo que, la desviación standard es:

La distribución de Poisson tiene una propiedad cuyas consecuencias son muy importantes para el Control Estadístico de Procesos. Supongamos que se tienen m variables aleatorias de Poisson:

Si w es una combinación lineal de tales variables:

Entonces w es una variable aleatoria de Poisson con parámetro:

Esto es muy importante porque podemos imaginar el producto fabricado por un proceso (Una licuadora, una computadora, un televisor, etc.) como una superficie en la que se pueden producir múltiples defectos, y donde el número de cada tipo de defecto es una variable aleatoria de Poisson. Entonces, la propiedad mencionada nos permite tratar la suma de todos los tipos de defectos como una variable aleatoria de Poisson. Esto se utiliza para el control del Número de Defectos en un producto (Gráficos C).

 

Supongamos ahora que tenemos un gran lote de artefactos, por ejemplo licuadoras. Tomamos una muestra de m = 5 unidades y medimos el número total de defectos en las 5 unidades. Si obtuvimos x₁, x₂, x₃, ... x_m defectos en cada unidad, el número total de defectos será:

El número promedio de defectos por unidad será:

y es una variable aleatoria discreta que puede tomar valores 0, 1/m, 2/m, 3/m, ... etc. ¿Cuál es la varianza de y?

La varianza de x_i es l cualquiera que sea el subindice i, porque todas las x_i tienen la misma distribución; por lo tanto:

Este es un importante resultado que se utilizará para calcular la varianza en los Gráficos U.